Zadania ze średnią ważoną z rozwiązaniami
Zadania są ułożone od najprostszych do trudniejszych. Każde ma rozwiązanie krok po kroku, schowane pod przyciskiem „Rozwiązanie”, więc najpierw możesz spróbować samodzielnie. Wynik sprawdzisz też w kalkulatorze średniej ważonej.
Średnią ważoną liczy się zawsze tak samo: każdą liczbę mnożysz przez jej wagę, iloczyny dodajesz, a sumę dzielisz przez sumę wag. Wzór i definicję znajdziesz w artykule Co to jest średnia ważona?
Zadanie 1. Oceny z wagami
Jaś dostał z kartkówek 5 i 4, a ze sprawdzianów 3, 4 i 4. Kartkówki mają wagę 1, a sprawdziany wagę 2. Oblicz średnią ważoną ocen Jasia.
Rozwiązanie
Mnożymy każdą ocenę przez jej wagę i dodajemy iloczyny:
5 · 1 + 4 · 1 + 3 · 2 + 4 · 2 + 4 · 2 = 5 + 4 + 6 + 8 + 8 = 31
Suma wag: 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 8
Średnia ważona: 31 : 8 = 3,875
Odpowiedź: średnia ważona ocen Jasia wynosi 3,875, czyli około 3,88.
Zadanie 2. Wagi w postaci ułamków
Ocena końcowa z przedmiotu składa się z trzech części: projekt ma wagę 0,5, egzamin 0,3, a aktywność 0,2. Kasia dostała za projekt 6, z egzaminu 3, a za aktywność 4. Jaką średnią ważoną uzyskała?
Rozwiązanie
6 · 0,5 + 3 · 0,3 + 4 · 0,2 = 3 + 0,9 + 0,8 = 4,7
Suma wag: 0,5 + 0,3 + 0,2 = 1. Gdy wagi sumują się do 1, sumy iloczynów nie trzeba już dzielić, bo dzielenie przez 1 nic nie zmienia.
Odpowiedź: średnia ważona Kasi wynosi 4,7.
Zadanie 3. Oceny z plusem i minusem
W szkole Tomka plus dodaje do oceny 0,5, a minus odejmuje 0,25. Tomek ma 3- ze sprawdzianu (waga 3), 4+ z kartkówki (waga 2) i 5 z zadania domowego (waga 1). Oblicz jego średnią ważoną.
Rozwiązanie
Najpierw zamieniamy oceny na liczby: 3- to 3 − 0,25 = 2,75, a 4+ to 4 + 0,5 = 4,5.
2,75 · 3 + 4,5 · 2 + 5 · 1 = 8,25 + 9 + 5 = 22,25
Suma wag: 3 + 2 + 1 = 6
Średnia ważona: 22,25 : 6 ≈ 3,71
Odpowiedź: średnia ważona Tomka wynosi około 3,71. W kalkulatorze wystarczy wpisać „3-”, „4+” i „5” z tymi wagami, bo plus i minus są tam domyślnie warte tyle samo co w zadaniu.
Zadanie 4. Średnia z tabeli liczebności
W tabeli podano oceny ze sprawdzianu w klasie liczącej 20 uczniów. Oblicz średnią ocen klasy.
| Ocena | Liczba uczniów |
|---|---|
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 7 |
| 5 | 3 |
Rozwiązanie
Wagą każdej oceny jest liczba uczniów, którzy ją dostali.
2 · 4 + 3 · 6 + 4 · 7 + 5 · 3 = 8 + 18 + 28 + 15 = 69
Suma wag: 4 + 6 + 7 + 3 = 20, czyli tyle, ilu jest uczniów.
Średnia: 69 : 20 = 3,45
Odpowiedź: średnia ocen klasy wynosi 3,45.
Zadanie 5. Wagi w procentach
Firma szuka pracownika i ocenia kandydatów w skali od 1 do 6. Każda kompetencja ma inną wagę. Który kandydat ma wyższą średnią ważoną?
| Kompetencja | Waga | Małgorzata | Tomasz |
|---|---|---|---|
| Jakość pracy | 40% | 5 | 3 |
| Innowacyjność | 20% | 3 | 4 |
| Współpraca w zespole | 15% | 3 | 4 |
| Przywództwo | 15% | 2 | 3 |
| Podejmowanie decyzji | 10% | 5 | 4 |
Rozwiązanie
Procenty traktujemy jak wagi. Sumują się do 100, więc sumę iloczynów dzielimy przez 100.
Małgorzata: (5 · 40 + 3 · 20 + 3 · 15 + 2 · 15 + 5 · 10) : 100 = (200 + 60 + 45 + 30 + 50) : 100 = 385 : 100 = 3,85
Tomasz: (3 · 40 + 4 · 20 + 4 · 15 + 3 · 15 + 4 · 10) : 100 = (120 + 80 + 60 + 45 + 40) : 100 = 345 : 100 = 3,45
Odpowiedź: wyższą średnią ważoną ma Małgorzata (3,85). Zwykła średnia wyszłaby u obojga taka sama, 3,6. Tomasz ma lepsze oceny w trzech kompetencjach, ale Małgorzata wygrywa w jakości pracy, która ma największą wagę.
Zadanie 6. Jaką ocenę trzeba dostać?
Ola ma z matematyki oceny 3 (waga 2), 4 (waga 1) i 3 (waga 3). Przed końcem semestru pisze jeszcze sprawdzian z wagą 4. Jaką najniższą ocenę musi z niego dostać, żeby średnia ważona wyniosła co najmniej 3,5?
Rozwiązanie
Obecna suma iloczynów: 3 · 2 + 4 · 1 + 3 · 3 = 6 + 4 + 9 = 19. Obecna suma wag: 2 + 1 + 3 = 6.
Szukaną ocenę oznaczamy przez x. Po sprawdzianie suma iloczynów wyniesie 19 + 4x, a suma wag 6 + 4 = 10. Średnia ma wynieść co najmniej 3,5:
(19 + 4x) : 10 ≥ 3,5
19 + 4x ≥ 35, więc 4x ≥ 16, czyli x ≥ 4.
Sprawdzenie: z oceną 4 średnia wynosi (19 + 16) : 10 = 3,5, a z oceną 3 tylko (19 + 12) : 10 = 3,1.
Odpowiedź: Ola musi dostać ze sprawdzianu co najmniej 4.
Zadanie 7. Średnia dwóch grup
W teście 20 uczniów klasy A zdobyło średnio 72 punkty, a 30 uczniów klasy B średnio 62 punkty. Jaka jest średnia liczba punktów wszystkich 50 uczniów?
Rozwiązanie
Nie wystarczy policzyć (72 + 62) : 2 = 67, bo klasy mają różną liczbę uczniów. Wagami są liczebności klas:
(72 · 20 + 62 · 30) : (20 + 30) = (1440 + 1860) : 50 = 3300 : 50 = 66
Odpowiedź: średnia wszystkich uczniów wynosi 66 punktów.
Zadanie 8. Mieszanka kawy
Sklep miesza 3 kg kawy po 40 zł za kilogram z 2 kg kawy po 55 zł za kilogram. Ile kosztuje kilogram mieszanki?
Rozwiązanie
Wagami są masy obu rodzajów kawy:
(40 · 3 + 55 · 2) : (3 + 2) = (120 + 110) : 5 = 230 : 5 = 46
Odpowiedź: kilogram mieszanki kosztuje 46 zł.